1. 为什么需要卷积？

在处理图像等高维数据时，传统的全连接网络（Fully Connected Network）会面临参数爆炸的问题。例如，一张 $224 \times 224$ 的彩色图片，如果第一层有 1000 个神经元，参数量将达到 $224 \times 224 \times 3 \times 1000 \approx 1.5$ 亿个。

卷积神经网络通过以下三个核心思想解决了这个问题：

  1. 局部感受野 (Local Receptive Fields)
  2. 权值共享 (Shared Weights)
  3. 空间池化 (Spatial Pooling)

2. 核心操作：卷积层

卷积核（Kernel/Filter）在图像上平滑移动，提取特征。公式表达为：
$$ (f * g)(n) = \sum_{m} f(m)g(n-m) $$

在深度学习中，我们通常关注的是互相关操作（Cross-correlation）：
$$ S(i, j) = (I * K)(i, j) = \sum_{m} \sum_{n} I(i+m, j+n)K(m, n) $$

3. 激活函数与池化层

  • ReLU: 引入非线性，加速收敛。
  • Max Pooling: 减少参数维度，保持平移不变性。

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