MachineLearning-11.聚类
条评论聚类(cluster)属于无监督学习;聚类是根据数据的特征,将相似度最高的样本划分到一个聚簇中;相似度的度量方式有,曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离,都可以用闵式距离公式表示;聚类算法包括:基于原型聚类,如k-means算法;基于密度聚类,如DBSCAN算法;基金层次聚类,如凝聚算法。评价指标采用轮廓系数。
相关概述
聚类(cluster)与分类(class)问题不同,聚类是属于无监督学习模型,而分类属于有监督学习。聚类使用一些算法把样本分为N个群落,群落内部相似度较高,群落之间相似度较低。在机器学习中,通常采用“距离”来度量样本间的相似度,距离越小,相似度越高;距离越大,相似度越低.
相似度度量方式
欧氏距离
相似度使用欧氏距离来进行度量. 坐标轴上两点$x_1, x_2$之间的欧式距离可以表示为:
$$
|x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2}
$$
平面坐标中两点$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$欧式距离可表示为:
$$
|(x_1,y_1)-(x_2, y_2)| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}
$$
三维坐标系中$(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$欧式距离可表示为:
$$
|(x_1, y_1, z_1),(x_2, y_2, z_2)| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}
$$
以此类推,可以推广到N维空间.
$$
|(x_1, y_1, z_1…,n_1),(x_2, y_2, z_2,…n_2)| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2+…(n_1-n_2)^2}
$$
曼哈顿距离
二维平面两点$a(x_1, y_1)$与$b(x_2, y_2)$两点间的曼哈顿距离为:
$$
d(a, b) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|
$$
推广到N维空间,$x(x_1, x_2, …, x_n)$与$y(y_1, y_2, …, y_n)$之间的曼哈顿距离为:
$$
d(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + … + |x_n - y_n| = \sum_{i=1}^n|x_i - y_i|
$$
![](/images/ml/cluster/manhaton_dist.png)
在上图中,绿色线条表示的为欧式距离,红色线条表示的为曼哈顿距离,黄色线条和蓝色线条表示的为曼哈顿距离的等价长度。
闵可夫斯基距离
闵可夫斯基距离(Minkowski distance)又称闵氏距离,其定义为:
$$
D(x, y) = (\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p)^{\frac{1}{p}}
$$
当$p=1$时,即为曼哈顿距离
当$p=2$时,即为欧式距离
当$p \rightarrow \infty$时,即为切比雪夫距离
可见,曼哈顿距离、欧氏距离、切比雪夫距离都是闵可夫斯基的特殊形式.
距离的性质
如果$dist(x,y)$度量标准为一个距离,它应该满足以下几个条件:
- 非负性:距离一般不能为负,即 $dist(x, y) >= 0$
- 同一性:$dist(x_i, y_i) = 0$,当且仅当$x_i = y_i$
- 对称性:$dist(x_i, y_i) = dist(y_i, x_i)$
- 直递性:$dist(x_i, x_j) <= dist(x_i, x_k) + dist(x_k, x_j)$
聚类算法的划分
原型聚类
原型聚类也称“基于原型的聚类”(prototype-based clustering),此类算法假设聚类结构能通过一组原型刻画,在现实聚类任务中极为常用. 通常情况下,算法先对原型进行初始化,然后对原型进行迭代更新求解. 采用不同的原型表示、不同的求解方式,将产生不同的算法. 最著名的原型聚类算法有K-Means.
密度聚类
密度聚类也称“基于密度的聚类”(density-based clustering),此类算法假定聚类结构能通过样本分布的紧密程度确定. 通常情况下,密度聚类算法从样本密度的角度来考察样本之间的可连接性,并基于可连接样本不断扩展聚类簇以获得最终的聚类结果. 著名的密度聚类算法有DBSCAN.
层次聚类
层次聚类(hierarchical clustering)试图在不同层次对数据集进行划分,从而形成树形的聚类结构. 数据集的划分可以采用“自底向上”或“自顶向下”的策略. 常用的层次聚类有凝聚层次算法等.
常用聚类算法
K均值聚类
定义
K均值聚类(k-means clustering)算法是一种常用的、基于原型的聚类算法,简单、直观、高效。其步骤为:
第一步:根据事先已知的聚类数,随机选择若干样本作为聚类中心,计算每个样本与每个聚类中心的欧式距离,离哪个聚类中心近,就算哪个聚类中心的聚类,完成一次聚类划分.
第二步:计算每个聚类的几何中心,如果几何中心与聚类中心不重合,再以几何中心作为新的聚类中心,重新划分聚类. 重复以上过程,直到某一次聚类划分后,所得到的各个几何中心与其所依据的聚类中心重合或足够接近为止. 聚类过程如下图所示:
![](/images/ml/cluster/k-means.png)
注意事项:
(1)聚类数(K)必须事先已知,来自业务逻辑的需求或性能指标.
(2)最终的聚类结果会因初始中心的选择不同而异,初始中心尽量选择离中心最远的样本.
实现
sklearn关于k-means算法API:
1 | import sklearn.cluster as sc |
示例代码:
1 | # k-means示例 |
打印输出:
1 | centers: [[7.07326531 5.61061224] |
生成图像:
![](/images/ml/cluster/k-means.png.png)
特点及使用
- 优点
(1)原理简单,实现方便,收敛速度快;
(2)聚类效果较优,模型的可解释性较强;
- 缺点
(1)需要事先知道聚类数量;
(2)聚类初始中心的选择对聚类结果有影响;
(3)采用的是迭代的方法,只能得到局部最优解;
(4)对于噪音和异常点比较敏感.
- 什么时候选择k-means
(1)事先知道聚类数量
(2)数据分布有明显的中心
噪声密度
定义
噪声密度(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise, 简写DBSCAN)随机选择一个样本做圆心,以事先给定的半径做圆,凡被该圆圈中的样本都被划为与圆心样本同处一个聚类,再以这些被圈中的样本做圆心,以事先给定的半径继续做圆,不断加入新的样本,扩大聚类的规模,知道再无新的样本加入为止,即完成一个聚类的划分. 以同样的方法,在其余样本中继续划分新的聚类,直到样本空间被耗尽为止,即完成整个聚类划分过程. 示意图如下:
![](/images/ml/cluster/DBSCAN.png)
DBSCAN算法中,样本点被分为三类:
- 边界点(Border point):可以划分到某个聚类,但无法发展出新的样本;
- 噪声点(Noise):无法划分到某个聚类中的点;
- 核心点(Core point):除了孤立样本和外周样本以外的样本都是核心点;
![](/images/ml/cluster/DBSCAN_3.png)
上图中,A和B为核心点,C为边界点,D为噪声点. 此外,DBSCAN还有两个重要参数:
- 邻域半径:设置邻域半径大小;
- 最少样本数目:邻域内最小样本数量,某个样本邻域内的样本超过该数,才认为是核心点.
② 实现
sklearn提供了DBSCAN模型来实现噪声密度聚类,原型如下:
1 | model = sc.DBSCAN(eps, # 半径 |
示例代码:
1 | # 噪声密度聚类示例 |
执行图像:
![](/images/ml/cluster/DBSCAN_2.png)
特点及使用
- 算法优点
(1)不用人为提前确定聚类类别数K;
(2)聚类速度快;
(3)能够有效处理噪声点(因为异常点不会被包含于任意一个簇,则认为是噪声);
(4)能够应对任意形状的空间聚类.
- 算法缺点
(1)当数据量过大时,要求较大的内存支持I/O消耗很大;
(2)当空间聚类的密度不均匀、聚类间距差别很大时、聚类效果有偏差;
(3)邻域半径和最少样本数量两个参数对聚类结果影响较大.
- 何时选择噪声密度
(1)数据稠密、没有明显中心;
(2)噪声数据较多;
(3)未知聚簇的数量.
凝聚层次聚类
定义
凝聚层次(Agglomerative)算法,首先将每个样本看做独立的聚类,如果聚类数大于预期,则合并两个距离最近的样本作为一个新的聚类,如此反复迭代,不断扩大聚类规模的同时,减少聚类的总数,直到聚类数减少到预期值为止. 这里的关键问题是如何计算聚类之间的距离.
依据对距离的不同定义,将Agglomerative Clustering的聚类方法分为三种:
- ward:默认选项,挑选两个簇来合并,是的所有簇中的方差增加最小。这通常会得到大小差不多相等的簇。
- average链接:将簇中所有点之间平均距离最小的两个簇合并。
- complete链接:也称为最大链接,将簇中点之间最大距离最小的两个簇合并。
ward适用于大多数数据集。如果簇中的成员个数非常不同(比如其中一个比其他所有都大得多),那么average或complete可能效果更好。
实现
sklearn提供了AgglomerativeClustering聚类器来实现凝聚层次聚类,示例代码如下:
1 | # 凝聚层次聚类示例 |
执行结果:
![](/images/ml/cluster/agglom.png)
特点及使用
(1)需要事先给定期望划分的聚类数(k),来自业务或指标优化;
(2)没有聚类中心,无法进行聚类预测,因为不依赖于中心的划分,所以对于中心特征不明显的样本,划分效果更佳稳定.
(3)适合于中心不明显的聚类.
聚类的评价指标
理想的聚类可以用四个字概况:内密外疏,即同一聚类内部足够紧密,聚类之间足够疏远. 学科中使用“轮廓系数”来进行度量,见下图:
![](/images/ml/cluster/cluster_measure.jpg)
假设我们已经通过一定算法,将待分类数据进行了聚类,对于簇中的每个样本,分别计算它们的轮廓系数。对于其中的一个点 i 来说:
a(i) = average(i向量到所有它属于的簇中其它点的距离)
b(i) = min (i向量到各个非本身所在簇的所有点的平均距离)
那么 i 向量轮廓系数就为:
$$
S(i)=\frac{b(i)-a(i)}{max(b(i), a(i))}
$$
由公式可以得出:
(1)当$b(i)>>a(i)$时,$S(i)$越接近于1,这种情况聚类效果最好;
(2)当$b(i)<<a(i)$时,$S(i)$越接近于-1,这种情况聚类效果最差;
(3)当$b(i)=a(i)$时,$S(i)$的值为0,这种情况分类出现了重叠.
sklearn提供的计算轮廓系数API:
1 | score = sm.silhouette_score(x, # 样本 |